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第3题

一名猎人和一只隐形兔子在欧几里得平面上进行游戏。兔子的起点 A0A_0 与猎人的起点 B0B_0 相同。游戏进行 n−1n-1 轮后，兔子在点 An−1A_{n-1}，猎人在点 Bn−1B_{n-1}。在第 nn 轮中，依次发生三件事：(i) 兔子隐蔽地移动到点 AnA_n，使 An−1A_{n-1} 与 AnA_n 的距离恰为 11；(ii) 跟踪装置向猎人报告一个点 PnP_n，唯一保证是 PnP_n 与 AnA_n 的距离至多为 11；(iii) 猎人公开移动到点 BnB_n，使 Bn−1B_{n-1} 与 BnB_n 的距离恰为 11。无论兔子怎样移动、跟踪装置报告哪些点，猎人是否总能选择自己的移动，使得经过 10910^9 轮后可以保证自己与兔子的距离至多为 100100？
第 3/9 步：两条对称的隐藏路线
上一步下一步
∣RY1∣=∣RY2∣=200,dist⁡(Yi,r)=1,∣Y1Y2∣=2|RY_1|=|RY_2|=200,\qquad \operatorname{dist}(Y_i,r)=1,\qquad |Y_1Y_2|=2
详细分析

在直线 rr 的两侧各取一点 Y1Y_1 和 Y2Y_2，使它们到 rr 的距离均为 11，到 RR 的距离均为 200200。它们关于 rr 对称，因此 ∣Y1Y2∣=2|Y_1Y_2|=2。兔子选择一个端点，沿从 RR 到该端点的线段走 200200 个单位步。所有中间点到 rr 的距离至多为 11，所以装置可以报告该点在 rr 上的正投影。两条路线得到的报告完全相同，而且始终合法。