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第3题

一名猎人和一只隐形兔子在欧几里得平面上进行游戏。兔子的起点 A0A_0 与猎人的起点 B0B_0 相同。游戏进行 n−1n-1 轮后，兔子在点 An−1A_{n-1}，猎人在点 Bn−1B_{n-1}。在第 nn 轮中，依次发生三件事：(i) 兔子隐蔽地移动到点 AnA_n，使 An−1A_{n-1} 与 AnA_n 的距离恰为 11；(ii) 跟踪装置向猎人报告一个点 PnP_n，唯一保证是 PnP_n 与 AnA_n 的距离至多为 11；(iii) 猎人公开移动到点 BnB_n，使 Bn−1B_{n-1} 与 BnB_n 的距离恰为 11。无论兔子怎样移动、跟踪装置报告哪些点，猎人是否总能选择自己的移动，使得经过 10910^9 轮后可以保证自己与兔子的距离至多为 100100？
第 4/9 步：猎人无法辨认所在一侧
上一步下一步
H∗∈r,∣HH∗∣=200,∣H∗R∣=200−dH^*\in r,\qquad |HH^*|=200,\qquad |H^*R|=200-d
详细分析

令 H∗H^* 为从 HH 沿经过 RR 的方向走 200200 个单位后在 rr 上到达的点。猎人在 200200 个单位步后能到达的任意点 QQ，其在 rr 上的投影沿 HH 到 RR 的方向都不会超过 H∗H^*。由于 d≥1d\ge1，而 YiY_i 相对于 RR 前方 200200 个单位处的点的微小偏移小于 1/4001/400，两个目的地都在 H∗H^* 的前方。两条路线的报告相同，所以猎人在两种情形中都会走同一条路线。无论最终 QQ 位于 rr 哪一侧，另一侧的目的地到 QQ 的距离都至少为 H∗YiH^*Y_i。若 QQ 在 rr 上，则两个目的地都满足这个下界。因此兔子可以选择一条路线，使最终距离至少为 y:=H∗Y1=H∗Y2y:=H^*Y_1=H^*Y_2。