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第3题

一名猎人和一只隐形兔子在欧几里得平面上进行游戏。兔子的起点 A0A_0 与猎人的起点 B0B_0 相同。游戏进行 n−1n-1 轮后，兔子在点 An−1A_{n-1}，猎人在点 Bn−1B_{n-1}。在第 nn 轮中，依次发生三件事：(i) 兔子隐蔽地移动到点 AnA_n，使 An−1A_{n-1} 与 AnA_n 的距离恰为 11；(ii) 跟踪装置向猎人报告一个点 PnP_n，唯一保证是 PnP_n 与 AnA_n 的距离至多为 11；(iii) 猎人公开移动到点 BnB_n，使 Bn−1B_{n-1} 与 BnB_n 的距离恰为 11。无论兔子怎样移动、跟踪装置报告哪些点，猎人是否总能选择自己的移动，使得经过 10910^9 轮后可以保证自己与兔子的距离至多为 100100？
第 5/9 步：计算几何下界
上一步下一步
y2=1+(d−ε)2,ε=ZR′,∣H∗R′∣=dy^2=1+(d-\varepsilon)^2,\qquad \varepsilon=ZR',\qquad |H^*R'|=d
详细分析

令 R′R' 为在 rr 上从 RR 沿前方走 200200 个单位所得的点，令 ZZ 为 Y1Y2Y_1Y_2 的中点。置 ε=ZR′\varepsilon=ZR'。由于 H∗H^* 与 R′R' 分别从 HH 与 RR 沿相同方向前进 200200 个单位，故 ∣H∗R′∣=d|H^*R'|=d；并且 H∗Z=d−εH^*Z=d-\varepsilon。线段 ZY1ZY_1 垂直于 rr 且长为 11，由勾股定理得 y2=1+(d−ε)2y^2=1+(d-\varepsilon)^2。