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第3题

一名猎人和一只隐形兔子在欧几里得平面上进行游戏。兔子的起点 A0A_0 与猎人的起点 B0B_0 相同。游戏进行 n−1n-1 轮后，兔子在点 An−1A_{n-1}，猎人在点 Bn−1B_{n-1}。在第 nn 轮中，依次发生三件事：(i) 兔子隐蔽地移动到点 AnA_n，使 An−1A_{n-1} 与 AnA_n 的距离恰为 11；(ii) 跟踪装置向猎人报告一个点 PnP_n，唯一保证是 PnP_n 与 AnA_n 的距离至多为 11；(iii) 猎人公开移动到点 BnB_n，使 Bn−1B_{n-1} 与 BnB_n 的距离恰为 11。无论兔子怎样移动、跟踪装置报告哪些点，猎人是否总能选择自己的移动，使得经过 10910^9 轮后可以保证自己与兔子的距离至多为 100100？
第 6/9 步：估计偏移量
上一步下一步
ε=200−2002−1>1400,ε2+1=400ε\varepsilon=200-\sqrt{200^2-1}>\frac1{400},\qquad \varepsilon^2+1=400\varepsilon
详细分析

直角三角形 R′ZRR'ZR 的斜边为 200200，一条直角边为 11，所以 R′Z=ε=200−2002−1=1/(200+2002−1)>1/400R'Z=\varepsilon=200-\sqrt{200^2-1}=1/(200+\sqrt{200^2-1})>1/400。有理化还得到 ε2+1=400ε\varepsilon^2+1=400\varepsilon。