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第3题

一名猎人和一只隐形兔子在欧几里得平面上进行游戏。兔子的起点 A0A_0 与猎人的起点 B0B_0 相同。游戏进行 n−1n-1 轮后，兔子在点 An−1A_{n-1}，猎人在点 Bn−1B_{n-1}。在第 nn 轮中，依次发生三件事：(i) 兔子隐蔽地移动到点 AnA_n，使 An−1A_{n-1} 与 AnA_n 的距离恰为 11；(ii) 跟踪装置向猎人报告一个点 PnP_n，唯一保证是 PnP_n 与 AnA_n 的距离至多为 11；(iii) 猎人公开移动到点 BnB_n，使 Bn−1B_{n-1} 与 BnB_n 的距离恰为 11。无论兔子怎样移动、跟踪装置报告哪些点，猎人是否总能选择自己的移动，使得经过 10910^9 轮后可以保证自己与兔子的距离至多为 100100？
第 8/9 步：重复直到距离超过100
上一步下一步
m=20000,d2>1+m2=10001m=20000,\qquad d^2>1+\frac m2=10001
详细分析

从 d1≥1d_1\ge1 开始。只要当前距离小于 100100，就应用区块策略。若经过 m=20000m=20000 个区块距离仍不超过 100100，前一步将给出 d2>1+m/2=10001d^2>1+m/2=10001，矛盾。因此兔子会在这些区块中达到大于 100100 的距离。