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第6题

若整数有序对 (x,y)(x,y) 满足 gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1，则称其为本原点。给定本原点的有限集 SS，证明存在正整数 nn 及整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n，使得对每个 (x,y)∈S(x,y)\in S 都有 a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1。
第 1/8 步：由贝祖定理开始归纳
上一步下一步
通俗地说

单个本原点上存在取值为1的整系数线性形式。

P(x,y)=ax+byP(x,y)=ax+by
详细分析

对 SS 的元素个数作归纳。基础情形中将唯一点写为 (x1,y1)(x_1,y_1)。由本原性，存在整数 a,b 使 ax1+by1=1ax_1+by_1=1。令 P(x,y)=ax+byP(x,y)=ax+by；它是正次数齐次多项式，并且 P(x1,y1)=1P(x_1,y_1)=1。