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第6题

若整数有序对 (x,y)(x,y) 满足 gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1，则称其为本原点。给定本原点的有限集 SS，证明存在正整数 nn 及整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n，使得对每个 (x,y)∈S(x,y)\in S 都有 a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1。
第 2/8 步：先处理相反的点
上一步下一步
通俗地说

偶数次齐次多项式在相反点处取值相同。

P(x,y)2P(x,y)^2
详细分析

假设归纳得到次数为 n 的整系数齐次多项式 P(x,y)=ax+byP(x,y)=ax+by，在原有 k-1 个点上都取值1。设新本原点为 q=(xk,yk)q=(x_k,y_k)。若它与某个旧点满足 q=−(xi,yi)q=-(x_i,y_i)，则由齐次性 P2P^2 在所有旧点及 q=(xk,yk)q=(x_k,y_k) 处仍取值1。因此可设对每个旧点 di=yixk−xiykd_i=y_ix_k-x_iy_k 都非零。