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第6题

若整数有序对 (x,y)(x,y) 满足 gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1，则称其为本原点。给定本原点的有限集 SS，证明存在正整数 nn 及整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n，使得对每个 (x,y)∈S(x,y)\in S 都有 a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1。
第 4/8 步：证明关键的互素性
上一步下一步
通俗地说

模素数约化后，行列式为零意味着向量成比例。

gcd⁡(P(xk,yk),D)=1\gcd(P(x_k,y_k),D)=1
详细分析

取一个同时整除 P(xk,yk)P(x_k,y_k) 与某个 di=yixk−xiykd_i=y_ix_k-x_iy_k 的素数 pp。由于两点都是本原点，它们模 pp 的约化都是非零向量。行列式为零使二者成比例，故存在非零剩余类 λ\lambda 使 (xi,yi)≡λq(modp)(x_i,y_i)\equiv\lambda q\pmod p。由齐次性，P(xi,yi)=1P(x_i,y_i)=1 ≡λnP(xk,yk)≡0(modp)\equiv\lambda^nP(x_k,y_k)\equiv0\pmod p，矛盾。因此 P(xk,yk)P(x_k,y_k) 与每个 di=yixk−xiykd_i=y_ix_k-x_iy_k 均互素，从而 gcd⁡(P(xk,yk),D)=1\gcd(P(x_k,y_k),D)=1。