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第6题

若整数有序对 (x,y)(x,y) 满足 gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1，则称其为本原点。给定本原点的有限集 SS，证明存在正整数 nn 及整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n，使得对每个 (x,y)∈S(x,y)\in S 都有 a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1。
第 5/8 步：选择相容的次数
上一步下一步
通俗地说

欧拉定理给出模行列式乘积为1的幂。

V=nU−(k−1)V=nU-(k-1)
详细分析

因为 P(xk,yk)P(x_k,y_k) 与 D=∏i=1k−1diD=\prod_{i=1}^{k-1}d_i 互素，取足够大的正整数 UU，使其为欧拉定理给出的指数的倍数，从而 P(xk,yk)U≡1(mod∣D∣)P(x_k,y_k)^U\equiv1\pmod{|D|}。必要时增大它以保证 nU≥k−1nU\ge k-1。定义 V=nU−(k−1)V=nU-(k-1)，则 V 是非负整数。