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第6题

若整数有序对 (x,y)(x,y) 满足 gcd⁡(x,y)=1\gcd(x,y)=1，则称其为本原点。给定本原点的有限集 SS，证明存在正整数 nn 及整数 a0,a1,…,ana_0,a_1,\ldots,a_n，使得对每个 (x,y)∈S(x,y)\in S 都有 a0xn+a1xn−1y+a2xn−2y2+⋯+an−1xyn−1+anyn=1a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1。
第 8/8 步：验证新点并完成证明
上一步下一步
通俗地说

贝祖关系使线性因子在新点处为1，所选系数修正剩余的取值。

Q(xk,yk)=P(xk,yk)U+CD=1Q(x_k,y_k)=P(x_k,y_k)^U+CD=1
详细分析

在 q=(xk,yk)q=(x_k,y_k) 处，由 axk+byk=1ax_k+by_k=1 线性式为1，行列式乘积为 D=∏i=1k−1diD=\prod_{i=1}^{k-1}d_i。故按 C 的定义有 Q(xk,yk)=P(xk,yk)U+CD=1Q(x_k,y_k)=P(x_k,y_k)^U+CD=1。结合上一步，Q(x,y)=1 on SQ(x,y)=1\text{ on }S。归纳完成，所需命题得证。