国际数学奥林匹克 · 2018年

试题

第1题设 $\Gamma$ 是锐角三角形 $ABC$ 的外接圆。点 $D$ 、 $E$ 分别在线段 $AB$ 、 $AC$ 上，且满足 $AD=AE$ 。线段 $BD$ 、 $CE$ 的垂直平分线分别与 $\Gamma$ 的小弧 $AB$ 、 $AC$ 交于点 $F$ 、 $G$ 。证明直线 $DE$ 与 $FG$ 要么平行，要么重合。解法: 1
第2题求出所有整数 $n \ge 3$ ，使得存在实数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 满足 $a_{n+1}=a_1$ ， $a_{n+2}=a_2$ ，且对 $i=1,2,\ldots,n$ 有 $a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}$ 。解法: 1
第3题反帕斯卡三角形是一个等边三角形数组：除最底行的数以外，每个数都等于其正下方两个数之差的绝对值。下面是一个包含从 1 到 10 的每个整数的四行反帕斯卡三角形： $\begin{array}{ccccccccccc} &&&&4&&&&\\ &&&2&&6&&&\\ &5&&7&&1&&&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array}$ 是否存在一个 2018 行的反帕斯卡三角形，使其包含从 1 到 $1+2+\cdots+2018$ 的每个整数？解法: 1
第4题称平面上的点 $(x,y)$ 为一个位置，其中 $x,y\in\{1,2,\ldots,20\}$ 。开始时，400 个位置都未被占用。Amy 与 Ben 轮流在未占用的位置放置棋子，Amy 先手。Amy 放置红棋子时，任意两个红棋子所在位置的距离都不能等于 $\sqrt{5}$ 。Ben 可以在任意未占用的位置放置蓝棋子，不受距离限制。当某一方不能放置棋子时，游戏立即结束。求最大的 $K$ ，使得无论 Ben 如何放置，Amy 都能保证至少放置 $K$ 个红棋子。解法: 1
第5题设 $a_1,a_2,\ldots$ 是一个正整数无限序列。假设存在整数 $N>1$ ，使得对每个 $n\ge N$ ，数 $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}$ 都是整数。证明存在正整数 $M$ ，使得对所有 $m\ge M$ 都有 $a_m=a_{m+1}$ .解法: 1
第6题凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB\cdot CD=BC\cdot DA$ 。点 $X$ 在 $ABCD$ 内部，且 $\angle XAB=\angle XCD$ 、 $\angle XBC=\angle XDA$ 。证明 $\angle BXA+\angle DXC=180^\circ$ 。解法: 1