第4题

称平面上的点

(x,y)

为一个位置，其中

x,y\in\{1,2,\ldots,20\}

。开始时，400 个位置都未被占用。Amy 与 Ben 轮流在未占用的位置放置棋子，Amy 先手。Amy 放置红棋子时，任意两个红棋子所在位置的距离都不能等于

\sqrt{5}

。Ben 可以在任意未占用的位置放置蓝棋子，不受距离限制。当某一方不能放置棋子时，游戏立即结束。求最大的

K

，使得无论 Ben 如何放置，Amy 都能保证至少放置

K

个红棋子。

第 1/6 步：确定目标值

通俗地说

分别证明 Amy 能保证的下界和 Ben 能迫使的上界；两者相等时答案就确定了。

K=100\ \text{is the target value}

详细分析

我们将证明可保证的最大数量为 $K=100$ 。下界使用棋盘策略，上界则在各个 $4\times4$ 方块内独立使用配对策略。