MathLabs

第1题

设 Γ\Gamma 是锐角三角形 ABCABC 的外接圆。点 DD、EE 分别在线段 ABAB、ACAC 上,且满足 AD=AEAD=AE。线段 BDBD、CECE 的垂直平分线分别与 Γ\Gamma 的小弧 ABAB、ACAC 交于点 FF、GG。证明直线 DEDE 与 FGFG 要么平行,要么重合。
第 3/7 步:得到第二个等距关系
通俗地说

在三角形的另一侧重复同样的论证,得到关于 K 的对称关系。

GC=GE,△CGE∼△KAE,KA=AE.GC=GE,\qquad \triangle CGE\sim\triangle KAE,\qquad KA=AE.
详细分析

由 CE 的垂直平分线可得 GC 等于 GE。利用 A、C、G、K 共圆以及 A、E、C 和 G、E、K 分别共线,可得两对对应角相等,所以三角形 CGE 与 KAE 相似。因此 GC 对应 GE、CE 对应 AE,由前两边相等得到 KA 等于 AE。