MathLabs

第2题

求出所有整数 n≥3n \ge 3，使得存在实数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n 满足 an+1=a1a_{n+1}=a_1，an+2=a2a_{n+2}=a_2，且对 i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n 有 aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}。
第 1/7 步：答案与极端构造
上一步下一步
3∣n,a3j+1=a3j+2=−1, a3j+3=23\mid n,\qquad a_{3j+1}=a_{3j+2}=-1,\ a_{3j+3}=2
详细分析

结论是这样的实数恰好在 3∣n3\mid n 时存在。当 n=3kn=3k 时，把区块 (−1,−1,2)(-1,-1,2) 重复共 kk 次——即对 j=0,1,…,k−1j=0,1,\ldots,k-1 令 a3j+1=a3j+2=−1a_{3j+1}=a_{3j+2}=-1，a3j+3=2a_{3j+3}=2——即得到一个有效数列：任意循环相邻的三项都是 (−1,−1,2)(-1,-1,2) 的一个旋转，而 (−1)(−1)+1=2(-1)(-1)+1=2、(−1)(2)+1=−1(-1)(2)+1=-1、(2)(−1)+1=−1(2)(-1)+1=-1 表明对一切 i=1,…,ni=1,\ldots,n 都有 aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}。剩下只需证明没有其他 n≥3n\ge 3 满足条件。