第2题

求出所有整数

n \ge 3

，使得存在实数

a_1, a_2, \ldots, a_n

满足

a_{n+1}=a_1

，

a_{n+2}=a_2

，且对

i=1,2,\ldots,n

有

a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}

。

第 3/7 步：对恒等式作循环求和

上一步下一步

\sum_{i=1}^n a_i^2=\sum_{i=1}^n a_ia_{i+3}

详细分析

对第2步的恒等式在 $i=1,\ldots,n$ 上求和。由于延拓以 $n$ 为周期，指标 $i+2$ 与 $i$ 取遍相同的 $n$ 个值，故 $\sum_{i=1}^n a_{i+2}^2=\sum_{i=1}^n a_i^2$ 且 $\sum_{i=1}^n a_{i+2}=\sum_{i=1}^n a_i$ ；因此求和后等式左边的一次项 $-a_{i+2}$ 与右边的 $-a_i$ 相消，剩下 $\sum_{i=1}^n a_i^2=\sum_{i=1}^n a_ia_{i+3}$ 。