第2题

求出所有整数

n \ge 3

，使得存在实数

a_1, a_2, \ldots, a_n

满足

a_{n+1}=a_1

，

a_{n+2}=a_2

，且对

i=1,2,\ldots,n

有

a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}

。

第 4/7 步：平方和为零迫使周期为

3

上一步下一步

\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i+3})^2=0\ \Longrightarrow\ a_i=a_{i+3}\ (1\le i\le n)

详细分析

由于延拓以 $n$ 为周期，也有 $\sum_{i=1}^n a_{i+3}^2=\sum_{i=1}^n a_i^2$ 。展开 $(a_i-a_{i+3})^2=a_i^2-2a_ia_{i+3}+a_{i+3}^2$ 并对 $i=1,\ldots,n$ 求和，由第3步的恒等式得 $\sum_{i=1}^n (a_i-a_{i+3})^2=2\sum_{i=1}^n a_i^2-2\sum_{i=1}^n a_ia_{i+3}=0$ 。实数平方的有限和为零，当且仅当每一项都为零，所以对一切 $i=1,\ldots,n$ （指标取模 $n$ ）都有 $a_i=a_{i+3}$ 。