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第2题

求出所有整数 n≥3n \ge 3，使得存在实数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n 满足 an+1=a1a_{n+1}=a_1，an+2=a2a_{n+2}=a_2，且对 i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n 有 aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}。
第 5/7 步：若 3∤n3\nmid n，则数列为常数
上一步下一步
gcd⁡(n,3)=1 ⟹ a1=a2=⋯=an\gcd(n,3)=1\ \Longrightarrow\ a_1=a_2=\cdots=a_n
详细分析

关系式 ai=ai+3a_i=a_{i+3} 对一切 ii 成立，意味着 aia_i 只依赖于 ii 模 gcd⁡(n,3)\gcd(n,3) 的余数，因为把指标按模 nn 反复移动 33，恰好会在回到自身之前遍历模 gcd⁡(n,3)\gcd(n,3) 的同一剩余类。由于 gcd⁡(n,3)∈{1,3}\gcd(n,3)\in\{1,3\}，情形 3∤n3\nmid n 迫使 gcd⁡(n,3)=1\gcd(n,3)=1，于是所有指标都在同一个剩余类中，从而 a1=a2=⋯=ana_1=a_2=\cdots=a_n。