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第2题

求出所有整数 n≥3n \ge 3，使得存在实数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n 满足 an+1=a1a_{n+1}=a_1，an+2=a2a_{n+2}=a_2，且对 i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n 有 aiai+1+1=ai+2a_ia_{i+1}+1=a_{i+2}。
第 6/7 步：常数数列是不可能的
上一步下一步
a1=a2=⋯=an=c ⟹ c2−c+1=0, Δ=−3<0a_1=a_2=\cdots=a_n=c\ \Longrightarrow\ c^2-c+1=0,\ \Delta=-3<0
详细分析

若 a1=a2=⋯=an=ca_1=a_2=\cdots=a_n=c，关系式 a1a2+1=a3a_1a_2+1=a_3 变为 c2+1=cc^2+1=c，即 c2−c+1=0c^2-c+1=0。该二次方程的判别式为 Δ=1−4=−3<0\Delta=1-4=-3<0，故没有实根 cc，矛盾。因此 3∤n3\nmid n 是不可能的。