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第3题

反帕斯卡三角形是一个等边三角形数组：除最底行的数以外，每个数都等于其正下方两个数之差的绝对值。下面是一个包含从 1 到 10 的每个整数的四行反帕斯卡三角形： 42657183109\begin{array}{ccccccccccc} &&&&4&&&&\\ &&&2&&6&&&\\ &5&&7&&1&&&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} 是否存在一个 2018 行的反帕斯卡三角形，使其包含从 1 到 1+2+⋯+20181+2+\cdots+2018 的每个整数？
第 3/6 步：迫使顶点路径达到极值
上一步下一步
A=p1→p2→⋯→pn=B,B−A=∑i=1n−1qi,A+∑i=1n−1qi≥1+2+⋯+n=NA=p_1\to p_2\to\cdots\to p_n=B,\qquad B-A=\sum_{i=1}^{n-1}q_i,\qquad A+\sum_{i=1}^{n-1}q_i\ge 1+2+\cdots+n=N
详细分析

沿箭头从顶端的数 A 走到位于底行的数 B。令第 i 步中与 pi+1p_{i+1} 相邻的另一个数为 qiq_i。由 A 和所有 qiq_i 组成的 n 个数是三角形中互不相同的正数，因此其和至少是 n 个最小正整数之和。路径关系说明这个和恰好等于 B。由于任何数都不超过 N，只能取等号：B=N，并且 A 与各个 qiq_i 正好是从 1 到 n 的数。