MathLabs

第3题

反帕斯卡三角形是一个等边三角形数组:除最底行的数以外,每个数都等于其正下方两个数之差的绝对值。下面是一个包含从 1 到 10 的每个整数的四行反帕斯卡三角形: 42657183109\begin{array}{ccccccccccc} &&&&4&&&&\\ &&&2&&6&&&\\ &5&&7&&1&&&\\ 8&&3&&10&&9 \end{array} 是否存在一个 2018 行的反帕斯卡三角形,使其包含从 1 到 1+2+⋯+20181+2+\cdots+2018 的每个整数?
第 5/6 步:开始第二条闪电路径
m=⌊n2⌋−1=1008,rj≥n+j(1≤j≤m)m=\left\lfloor\frac n2\right\rfloor-1=1008,\qquad r_j\ge n+j\quad(1\le j\le m)
详细分析

设 B 在底行的两个邻数为 X、Y;其中一个是最后的相邻增量 qn−1q_{n-1},因此已经是从 1 到 n 的数之一。必要时将三角形反射,使 B 位于底行的右半部。把包含这个小邻数的一侧三角区域补全到顶点 C,并像标准闪电构造那样沿箭头从 C 走到其在底行的终点 D。这条第二路径至少有 ⌊n/2⌋−1\lfloor n/2\rfloor-1 条箭头。路径上的每个相邻增量 rjr_j 都是不同于 A 和各 qiq_i 的正数,因此不属于从 1 到 n 的数。将这些互不相同的增量排序,得到 rj≥n+jr_j\ge n+j。