第4题

称平面上的点

(x,y)

为一个位置，其中

x,y\in\{1,2,\ldots,20\}

。开始时，400 个位置都未被占用。Amy 与 Ben 轮流在未占用的位置放置棋子，Amy 先手。Amy 放置红棋子时，任意两个红棋子所在位置的距离都不能等于

\sqrt{5}

。Ben 可以在任意未占用的位置放置蓝棋子，不受距离限制。当某一方不能放置棋子时，游戏立即结束。求最大的

K

，使得无论 Ben 如何放置，Amy 都能保证至少放置

K

个红棋子。

第 2/6 步：选择一种棋盘颜色

通俗地说

把棋盘染成棋盘格后，每一步被禁止的马步都会改变颜色，因此同色位置彼此安全。

\#\{(x,y):x+y\equiv0\pmod 2\}=200

详细分析

满足 $x+y$ 为偶数的位置共有 $200$ 个。若两个格点间的距离为 $\sqrt{5}$ ，则它们的坐标差的绝对值（不计次序）为 $1$ 和 $2$ ，所以坐标和的奇偶性相反。因此，任意两个满足 $x+y$ 为偶数的位置都不相距禁距。