第4题

称平面上的点

(x,y)

为一个位置，其中

x,y\in\{1,2,\ldots,20\}

。开始时，400 个位置都未被占用。Amy 与 Ben 轮流在未占用的位置放置棋子，Amy 先手。Amy 放置红棋子时，任意两个红棋子所在位置的距离都不能等于

\sqrt{5}

。Ben 可以在任意未占用的位置放置蓝棋子，不受距离限制。当某一方不能放置棋子时，游戏立即结束。求最大的

K

，使得无论 Ben 如何放置，Amy 都能保证至少放置

K

个红棋子。

第 5/6 步：Ben 的配对应手

上一步下一步

通俗地说

Amy 占据一个环上的点后，Ben 占据其对面的点。剩下两个点对 Amy 都不合法，所以该环不可能再产生第二个红棋子。

\text{one red stone per cycle}\quad\Longrightarrow\quad4\text{ red stones per }4\times4\text{ block}

详细分析

Ben 在同一循环中作出回应，占据与 Amy 新选顶点相对的顶点。该对面顶点仍为空，因为 Ben 此前在此循环中至多回应过一次，且各循环互不相交。剩下两个顶点分别与 Amy 的红棋子相距 $\sqrt{5}$ ，Amy 不能使用它们。因此每个循环中 Amy 至多放置一个红棋子，进而每个 $4\times4$ 方块中至多放置 $4$ 个红棋子。