第4题

称平面上的点

(x,y)

为一个位置，其中

x,y\in\{1,2,\ldots,20\}

。开始时，400 个位置都未被占用。Amy 与 Ben 轮流在未占用的位置放置棋子，Amy 先手。Amy 放置红棋子时，任意两个红棋子所在位置的距离都不能等于

\sqrt{5}

。Ben 可以在任意未占用的位置放置蓝棋子，不受距离限制。当某一方不能放置棋子时，游戏立即结束。求最大的

K

，使得无论 Ben 如何放置，Amy 都能保证至少放置

K

个红棋子。

第 6/6 步：合并上下界

通俗地说

共有 25 个方块，Ben 使 Amy 在每个方块中至多放置四个红棋子，恰好与 Amy 的棋盘策略保证相同。

25\cdot4=100\quad\Longrightarrow\quad K\le100\quad\text{and hence}\quad K=100

详细分析

Ben 的策略使整个棋盘上的红棋子总数至多为 $25\cdot4=100$ ，所以 Amy 不可能保证超过 $100$ 个。另一方面，棋盘策略已经保证至少 $100$ 个。因此最大保证值为 $K=100$ 。