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第5题

设 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots 是一个正整数无限序列。假设存在整数 N>1N>1，使得对每个 n≥Nn\ge N，数 a1a2+a2a3+⋯+an−1an+ana1\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1} 都是整数。证明存在正整数 MM，使得对所有 m≥Mm\ge M 都有 am=am+1a_m=a_{m+1}.
第 1/8 步：取相邻差
上一步下一步
通俗地说

两个长循环和只在三项上不同。

Sn=∑i=1n−1aiai+1+ana1S_n=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{a_{i+1}}+\frac{a_n}{a_1}
详细分析

当 n>Nn>N 时，SnS_n 和 Sn+1S_{n+1} 都是整数。它们的差为 Tn=Sn+1−Sn=an+1a1−ana1+anan+1T_n=S_{n+1}-S_n=\frac{a_{n+1}}{a_1}-\frac{a_n}{a_1}+\frac{a_n}{a_{n+1}}，所以 Tn∈ZT_n\in\mathbb Z。