第5题

设

a_1,a_2,\ldots

是一个正整数无限序列。假设存在整数

N>1

，使得对每个

n\ge N

，数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

都是整数。证明存在正整数

M

，使得对所有

m\ge M

都有

a_m=a_{m+1}

第 2/8 步：固定素数并使用赋值

v_p(x)=\text{the exponent of }p\text{ in }x

详细分析

固定素数 $p$ 并记 $v=v_p$ 。整数的 $v$ 赋值非负；若有理数之和恰有一项赋值为负，则其和赋值仍为负，不可能是整数。