第5题

设

a_1,a_2,\ldots

是一个正整数无限序列。假设存在整数

N>1

，使得对每个

n\ge N

，数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

都是整数。证明存在正整数

M

，使得对所有

m\ge M

都有

a_m=a_{m+1}

第 3/8 步：不整除

a_1

的素数给出递减

上一步下一步

p\nmid a_1\Longrightarrow v_p(a_{n+1})\le v_p(a_n)

详细分析

若 $p\nmid a_1$ ，则 $v(\frac{a_{n+1}}{a_1})\ge0$ 且 $v(\frac{a_n}{a_1})\ge0$ 。由于 $T_n$ 是整数，最后一项也须满足 $v(\frac{a_n}{a_{n+1}})\ge0$ 。故对每个 $n>N$ 有 $v_p(a_{n+1})\le v_p(a_n)$ 。