第5题

设

a_1,a_2,\ldots

是一个正整数无限序列。假设存在整数

N>1

，使得对每个

n\ge N

，数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

都是整数。证明存在正整数

M

，使得对所有

m\ge M

都有

a_m=a_{m+1}

第 4/8 步：若赋值达到

v_p(a_1)

就递减

上一步下一步

v_p(a_k)\ge c=v_p(a_1)\Longrightarrow c\le v_p(a_{n+1})\le v_p(a_n)\quad(n\ge k)

详细分析

现在设 $p\mid a_1$ ，并令 $c=v_p(a_1)>0$ 。若某个 $k>N$ 满足 $v_p(a_k)\ge c$ ，则归纳得到此后 $v_p(a_n)\ge c$ 且 $v_p(a_{n+1})\le v_p(a_n)$ 。事实上，若下一赋值小于 $c$ ，则 $T_n$ 的第一项和第三项赋值不同（若相等会推出 $v_p(a_n)<c$ ），于是留下唯一负赋值；若下一赋值大于当前赋值，则第三项是唯一负赋值。因此整数赋值序列最终恒定。