第5题

设

a_1,a_2,\ldots

是一个正整数无限序列。假设存在整数

N>1

，使得对每个

n\ge N

，数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

都是整数。证明存在正整数

M

，使得对所有

m\ge M

都有

a_m=a_{m+1}

第 5/8 步：若永不达到

c

就递增

上一步下一步

v_p(a_n)<c\ \forall n>N\Longrightarrow v_p(a_{n+1})\ge v_p(a_n)

详细分析

在剩余情形中，令 $x=v_p(a_n)<c$ 、 $y=v_p(a_{n+1})<c$ 。 $T_n$ 前两项的赋值分别为 $y-c$ 和 $x-c$ ，都为负。要使加上第三项后的总和为整数，最小赋值必须至少出现两次。前两项相等给出 $x=y$ ；第一、三项相等给出 $2y=x+c$ ，从而 $y>x$ ；第二、三项相等会给出 $y=c$ ，矛盾。因此 $y\ge x$ ，且赋值上界为 $c$ ，故最终稳定。