第5题

设

a_1,a_2,\ldots

是一个正整数无限序列。假设存在整数

N>1

，使得对每个

n\ge N

，数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

都是整数。证明存在正整数

M

，使得对所有

m\ge M

都有

a_m=a_{m+1}

第 7/8 步：尾部形成整除链

上一步下一步

a_{n+1}\mid a_n\quad\text{for all sufficiently large }n

详细分析

当 $p\nmid a_1$ 时，步骤3给出 $v_p(a_{n+1})\le v_p(a_n)$ ；当 $p\mid a_1$ 时，步骤6说明在公共时刻后赋值相等。因此对充分大的 $n$ ， $a_{n+1}$ 中每个素因子的指数都不超过 $a_n$ 中对应指数，故 $a_{n+1}\mid a_n$ 。