第5题

设

a_1,a_2,\ldots

是一个正整数无限序列。假设存在整数

N>1

，使得对每个

n\ge N

，数

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

都是整数。证明存在正整数

M

，使得对所有

m\ge M

都有

a_m=a_{m+1}

第 8/8 步：正整数整除下降链必稳定

a_{n+1}\mid a_n\text{ and }a_n\mid a_{n_0}\Longrightarrow a_n\text{ is eventually constant}

详细分析

取公共稳定时刻之后的 $n_0$ 。当 $n$ 足够大时，对所有 $n\ge n_0$ 都有 $a_n\mid a_{n_0}$ 。 $a_{n_0}$ 的正因数只有有限个，而又有 $a_{n+1}\mid a_n$ ，所以链只能改变有限次。因此充分大时 $a_n=a_{n+1}$ ，结论成立。