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第6题

凸四边形 ABCDABCD 满足 AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA。点 XX 在 ABCDABCD 内部，且 ∠XAB=∠XCD\angle XAB=\angle XCD、∠XBC=∠XDA\angle XBC=\angle XDA。证明 ∠BXA+∠DXC=180∘\angle BXA+\angle DXC=180^\circ。
第 2/8 步：证明唯一性引理
上一步下一步
fixed angles+AB⋅CD=BC⋅DA⟹unique up to similarity\text{fixed angles}+AB\cdot CD=BC\cdot DA\Longrightarrow\text{unique up to similarity}
详细分析

为完整起见，归一化 AB=1AB=1 并把 A,BA,B 放在固定直线上。给定的四个角确定另外两条边的方向；设它们的长度 DA=tDA=t および BC=sBC=s。对角线分成的两个三角形应用正弦定理，对其余两个角各得一个方程。消去对角线后得到关于 t/st/s 的严格单调方程。边长条件给出 CD/AB=(BC/DA)=s/tCD/AB=(BC/DA)=s/t，因此恰好确定一个正比值，继而确定尺度。所以具有相同四角的两个凸准调和四边形相似。这就是官方反演解使用的初等唯一性引理。