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第6题

凸四边形 ABCDABCD 满足 AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA。点 XX 在 ABCDABCD 内部，且 ∠XAB=∠XCD\angle XAB=\angle XCD、∠XBC=∠XDA\angle XBC=\angle XDA。证明 ∠BXA+∠DXC=180∘\angle BXA+\angle DXC=180^\circ。
第 3/8 步：以 XX 为中心反演四边形
上一步下一步
通俗地说

反演按端点因子改变距离，而这些因子会在乘积条件中消去。

P′Q′=r2 PQXP⋅XQP'Q'=\frac{r^2\,PQ}{XP\cdot XQ}
详细分析

设 A′,B′,C′,D′A',B',C',D' 是以 XX 为中心、半径 rr 的反演中 A,B,C,DA,B,C,D 的像。距离公式为 P′Q′=r2 PQXP⋅XQP'Q'=\frac{r^2\,PQ}{XP\cdot XQ}。因此 A′B′⋅C′D′=B′C′⋅D′A′A'B'\cdot C'D'=B'C'\cdot D'A'，因为两边都等于 r4AB⋅CDXA XB XC XD\frac{r^4 AB\cdot CD}{XA\,XB\,XC\,XD}。反演像仍为准调和四边形。