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第6题

凸四边形 ABCDABCD 满足 AB⋅CD=BC⋅DAAB\cdot CD=BC\cdot DA。点 XX 在 ABCDABCD 内部，且 ∠XAB=∠XCD\angle XAB=\angle XCD、∠XBC=∠XDA\angle XBC=\angle XDA。证明 ∠BXA+∠DXC=180∘\angle BXA+\angle DXC=180^\circ。
第 7/8 步：应用四边形等角判据
上一步下一步
Y isogonal to X⟺∠BXA+∠DXC=180∘Y\text{ isogonal to }X\Longleftrightarrow\angle BXA+\angle DXC=180^\circ
详细分析

对凸四边形内部两点 X,YX,Y，将四个顶点处的射线关于相应角平分线反射，可得标准判据 Y isogonal to X⟺∠BXA+∠DXC=180∘Y\text{ isogonal to }X\Longleftrightarrow\angle BXA+\angle DXC=180^\circ。正向由相加四个反射后的有向角得到，逆向则依次在 A,B,C,DA,B,C,D 处反射得到。步骤6给出了等角共轭点 YY，故该判据给出所需等式。