第1题

设

\mathbb{Z}

为整数集合。求所有函数

f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}

，使得对一切整数

a

、

b

，都有

f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).

第 1/7 步：为命题命名

通俗地说

给方程命名可以简洁地引用具体的代入。

P(a,b):\ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))

详细分析

对整数 a、b，记 P(a, b) 为命题 f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b))。首先注意到恒等于 0 的函数 f，以及对固定整数 c 而言的 f(x) = 2x + c，都满足该方程；下面我们将从 P 中不断提取更多结构，证明这些正是全部解。