第1题

设

\mathbb{Z}

为整数集合。求所有函数

f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}

，使得对一切整数

a

、

b

，都有

f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).

第 2/7 步：比较两次代入

通俗地说

两组不同的取值给出了同一个量 f(f(x)) 的两种表达式。

P(0,x),P(x,0)\ \Longrightarrow\ f(2x)=2f(x)-f(0)

详细分析

比较 P(0, x) 与 P(x, 0)，二者都等于 f(f(x))：前者给出 f(0) + 2f(x)，后者给出 f(2x) + 2f(0)。令两式相等并整理，即得 f(2x) 等于 2f(x) 减去 f(0)。