第1题

设

\mathbb{Z}

为整数集合。求所有函数

f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}

，使得对一切整数

a

、

b

，都有

f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).

第 4/7 步：求解整数上的可加方程

上一步下一步

通俗地说

整数集上的可加函数完全由其在 1 处的取值决定。

g(x):=f(x)-f(0)\ \Longrightarrow\ g(n)=n\,g(1)\ \Longrightarrow\ f(x)=kx+c,\ k=g(1),\ c=f(0)

详细分析

令 g(x) = f(x) - f(0)。上一步表明，对一切整数 a、b，都有 g(a+b) = g(a) + g(b)。取 a = b = 0 得 g(0) = 0；再利用 g(n+1) = g(n) + g(1) 以及 g(-n) = -g(n) 对 n 归纳，可得对每个整数 n，g(n) 等于 n 乘以 g(1)。因此对每个整数 x，f(x) 等于 k 乘以 x 再加上 f(0)，其中 k 表示 g(1)；也就是说，f 必须是关于 x 的仿射函数。