第1题

设

\mathbb{Z}

为整数集合。求所有函数

f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}

，使得对一切整数

a

、

b

，都有

f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).

第 5/7 步：把仿射形式代回方程

上一步下一步

通俗地说

目前只用了两组特殊代入；完整的方程仍需被满足，这将对 k 和 c 施加进一步的约束。

f(2a)+2f(b)=2k(a+b)+3c,\quad f(f(a+b))=k^2(a+b)+kc+c\ \Longrightarrow\ 2k=k^2,\ \ 2c=kc

详细分析

写 f(x) = kx + c。代入原方程，左边 f(2a) + 2f(b) 等于 2k(a+b) + 3c，右边 f(f(a+b)) 等于 k 的平方乘以 (a+b) 再加上 kc 与 c。由于此等式对一切整数 a、b 都必须成立，(a+b) 的系数必须相等，常数项也必须相等，于是得到两个条件：2k 等于 k 的平方，且 3c 等于 kc 与 c 之和。