第1题

设

\mathbb{Z}

为整数集合。求所有函数

f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}

，使得对一切整数

a

、

b

，都有

f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).

第 6/7 步：求解 k 与 c

通俗地说

关于 k 的条件可以因式分解，恰好把问题分成两种情形，每种情形决定了 c 是被固定还是自由。

k(k-2)=0\ \Longrightarrow\ (k=0,\ c=0)\ \text{ or }\ (k=2,\ c\in\mathbb{Z}\text{ free})

详细分析

由 2k 等于 k 的平方，得 k 乘以 (k − 2) 等于 0，故 k 等于 0 或 k 等于 2。若 k 等于 0，条件 2c 等于 kc 变为 2c 等于 0，从而必须 c 等于 0。若 k 等于 2，该条件变为 2c 等于 2c，对任意整数 c 都成立，因此这种情形下 c 不受限制。