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第2题

在三角形 ABCABC 中，点 A1A_1 在边 BCBC 上，点 B1B_1 在边 ACAC 上。取点 PP、QQ 分别在边段 AA1AA_1、BB1BB_1 上，使 PQPQ 平行于 ABAB。在线 PB1PB_1 上取点 P1P_1，使 B1B_1 严格位于 PP 与 P1P_1 之间，且 ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC。类似地，在线 QA1QA_1 上取点 Q1Q_1，使 A1A_1 严格位于 QQ 与 Q1Q_1 之间，且 ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA。证明点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 共圆。
第 1/6 步：引入辅助点
上一步下一步
通俗地说

与外接圆的第二个交点把两条已知的截线同三角形 ABC 的圆周角联系起来。

Ω=(ABC),A2=(AA1∩Ω)∖{A},B2=(BB1∩Ω)∖{B}\Omega=(ABC),\qquad A_2=(AA_1\cap\Omega)\setminus\{A\},\qquad B_2=(BB_1\cap\Omega)\setminus\{B\}
详细分析

设 Ω 为 ABC 的外接圆。令 A_2 为直线 AA_1 与 Ω 的第二个交点，令 B_2 为直线 BB_1 与 Ω 的第二个交点。因此 A、P、A_1、A_2 共线，B、Q、B_1、B_2 共线，且 A、B、A_2、B_2 都在 Ω 上。