MathLabs

第2题

在三角形 ABCABC 中，点 A1A_1 在边 BCBC 上，点 B1B_1 在边 ACAC 上。取点 PP、QQ 分别在边段 AA1AA_1、BB1BB_1 上，使 PQPQ 平行于 ABAB。在线 PB1PB_1 上取点 P1P_1，使 B1B_1 严格位于 PP 与 P1P_1 之间，且 ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC。类似地，在线 QA1QA_1 上取点 Q1Q_1，使 A1A_1 严格位于 QQ 与 Q1Q_1 之间，且 ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA。证明点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 共圆。
第 2/6 步：构造主圆
上一步下一步
通俗地说

平行线段把 Ω 上的圆周角关系转移过来，从而得到一条经过 P、Q 的圆。

PQ∥AB⟹P,Q,A2,B2 are concyclic;ω=(PQA2B2)PQ\parallel AB\Longrightarrow P,Q,A_2,B_2\text{ are concyclic};\qquad \omega=(PQA_2B_2)
详细分析

由于 P 在 AA_2 上、Q 在 BB_2 上，且 PQ 平行于 AB，对内接四边形 ABA_2B_2 应用 Reim 定理的有向角形式，即得 P、Q、A_2、B_2 共圆。将此圆记为 ω。也可以直接验证共圆条件：把 PQ 替换为 AB，把 PA_2、QB_2 所在直线替换为 AA_2、BB_2，再利用 Ω 上相等的圆周角即可。