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第2题

在三角形 ABCABC 中，点 A1A_1 在边 BCBC 上，点 B1B_1 在边 ACAC 上。取点 PP、QQ 分别在边段 AA1AA_1、BB1BB_1 上，使 PQPQ 平行于 ABAB。在线 PB1PB_1 上取点 P1P_1，使 B1B_1 严格位于 PP 与 P1P_1 之间，且 ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC。类似地，在线 QA1QA_1 上取点 Q1Q_1，使 A1A_1 严格位于 QQ 与 Q1Q_1 之间，且 ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA。证明点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 共圆。
第 3/6 步：构造第一个辅助圆
上一步下一步
通俗地说

Q_1 处的已知角等于 A_2 处的圆周角，因此两点对同一弦 CA_1 所对的角相等。

∠CQ1A1=∠CQ1Q=∠CBA=∠CA2A=∠CA2A1⟹C,A1,A2,Q1 are concyclic\angle CQ_1A_1=\angle CQ_1Q=\angle CBA=\angle CA_2A=\angle CA_2A_1\Longrightarrow C,A_1,A_2,Q_1\text{ are concyclic}
详细分析

由于 A_1 严格位于 Q 与 Q_1 之间，射线 Q_1A_1 与 Q_1Q 重合，所以角 CQ_1A_1 等于角 CQ_1Q。由题设，该角等于角 CBA。由于 A、B、C、A_2 共圆于 Ω，角 CBA 等于角 CA_2A；又因为 A、A_1、A_2 共线且从 A_2 看在同一射线上，所以该角等于角 CA_2A_1。因此 C、A_1、A_2、Q_1 共圆。