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第2题

在三角形 ABCABC 中，点 A1A_1 在边 BCBC 上，点 B1B_1 在边 ACAC 上。取点 PP、QQ 分别在边段 AA1AA_1、BB1BB_1 上，使 PQPQ 平行于 ABAB。在线 PB1PB_1 上取点 P1P_1，使 B1B_1 严格位于 PP 与 P1P_1 之间，且 ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC。类似地，在线 QA1QA_1 上取点 Q1Q_1，使 A1A_1 严格位于 QQ 与 Q1Q_1 之间，且 ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA。证明点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 共圆。
第 4/6 步：把 Q_1 放到主圆上
上一步下一步
通俗地说

等角链从辅助圆经过 Ω 传到 P，最终得到关于 ω 的同一个共圆条件。

∠QQ1A2=∠A1Q1A2=∠A1CA2=∠BCA2=∠BAA2=∠QPA2⟹P,Q,A2,Q1 are concyclic\angle QQ_1A_2=\angle A_1Q_1A_2=\angle A_1CA_2=\angle BCA_2=\angle BAA_2=\angle QPA_2\Longrightarrow P,Q,A_2,Q_1\text{ are concyclic}
详细分析

由于 Q、A_1、Q_1 共线，角 QQ_1A_2 等于角 A_1Q_1A_2。在圆 C、A_1、A_2、Q_1 上，该角等于角 A_1CA_2。又因 C、A_1、B 共线，它等于角 BCA_2；因 A、B、C、A_2 共圆于 Ω，它等于角 BAA_2。最后 AB 平行于 PQ，且 A、A_2、P 共线，所以角 BAA_2 等于角 QPA_2。因此 P、Q、A_2、Q_1 共圆，Q_1 位于 ω 上。