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第2题

在三角形 ABCABC 中，点 A1A_1 在边 BCBC 上，点 B1B_1 在边 ACAC 上。取点 PP、QQ 分别在边段 AA1AA_1、BB1BB_1 上，使 PQPQ 平行于 ABAB。在线 PB1PB_1 上取点 P1P_1，使 B1B_1 严格位于 PP 与 P1P_1 之间，且 ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C=\angle BAC。类似地，在线 QA1QA_1 上取点 Q1Q_1，使 A1A_1 严格位于 QQ 与 Q1Q_1 之间，且 ∠CQ1Q=∠CBA\angle CQ_1Q=\angle CBA。证明点 P,Q,P1,Q1P,Q,P_1,Q_1 共圆。
第 5/6 步：对 P_1 使用对称论证
上一步下一步
通俗地说

交换 A、B 的角色不会改变整个构型，并会把 Q_1 与 P_1 互换。

A↔B,A1↔B1,A2↔B2,P↔Q,P1↔Q1⟹P,Q,B2,P1 are concyclicA\leftrightarrow B,\quad A_1\leftrightarrow B_1,\quad A_2\leftrightarrow B_2,\quad P\leftrightarrow Q,\quad P_1\leftrightarrow Q_1\Longrightarrow P,Q,B_2,P_1\text{ are concyclic}
详细分析

同时交换 A 与 B、A_1 与 B_1、A_2 与 B_2、P 与 Q 以及 P_1 与 Q_1，再应用前两步的追角论证。题设的角条件 PP_1C = BAC 在交换后的构型中变成相应的角条件。因此同样的论证得到 P、Q、B_2、P_1 共圆。由于 P、Q、B_2 已在 ω 上，P_1 也在 ω 上。