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第4题

求出所有正整数对 (k,n)(k,n)，使得 k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)⋯(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).
第 3/6 步：用勒让德公式给出 k 的下界
上一步下一步
v2(k!)=∑j≥1⌊k2j⌋=k−s2(k)<k,n(n−1)2=v2(k!)<kv_2(k!)=\sum_{j\ge1}\left\lfloor\frac{k}{2^j}\right\rfloor=k-s_2(k)<k,\qquad \frac{n(n-1)}2=v_2(k!)<k
详细分析

由于 k!=Lnk!=L_n，两边的赋值相等。由勒让德公式，v2(k!)=k−s2(k)<kv_2(k!)=k-s_2(k)<k，其中 s2(k)≥1s_2(k)\ge1 是 kk 的二进制数字之和。结合第 2 步得到 n(n−1)/2=v2(k!)<kn(n-1)/2=v_2(k!)<k。