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第4题

求出所有正整数对 (k,n)(k,n)，使得 k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)⋯(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).
第 4/6 步：用增长率排除 n 大于等于 6 的情形
上一步下一步
Ln<2n2,m=n(n−1)2,2n2<m! (n≥6)⟹ k!>m!>2n2>LnL_n<2^{n^2},\qquad m=\frac{n(n-1)}2,\qquad 2^{n^2}<m!\ (n\ge6)\Longrightarrow\ k!>m!>2^{n^2}>L_n
详细分析

LnL_n 的每个因子都小于 2n2^n，所以 Ln<2n2L_n<2^{n^2}。令 m=n(n−1)/2m=n(n-1)/2。当 n=6n=6 时，2n2=236<15!=m!2^{n^2}=2^{36}<15!=m!。若某个 n≥6n\ge6 满足 2n2<m!2^{n^2}<m!，那么到 n+1n+1 时，阶乘一侧增加 nn 个因子，每个都至少为 m+1≥16m+1\ge16，而幂一侧只增加因子 22n+12^{2n+1}；故由归纳法不等式继续成立。因此所有 n≥6n\ge6 都有 2n2<m!2^{n^2}<m!。但第 3 步给出 k>mk>m，所以 k!>m!k!>m!，这与 k!=Ln<2n2<m!k!=L_n<2^{n^2}<m! 矛盾。