第5题

Bath 银行发行一面为、另一面为的硬币。Harry 有枚这样的硬币，从左到右排成一列。他反复进行如下操作：若恰有枚硬币显示，就翻转从左数第枚硬币；否则所有硬币都显示，他便停止。例如当且从开始时，过程为，三次操作后停止。(a) 证明对每个初始配置，Harry 都会在有限次操作后停止。(b) 对每个初始配置，令为停止前的操作次数。求所有个初始配置的的平均值。

H

T

n

k>0

H

k

T

n=3

THT

THT\to HHT\to HTT\to TTT

C

L(C)

L(C)

2^n

第 2/6 步：最后的不产生影响

上一步下一步

通俗地说

最后一位为时永远不会被选中。

C=C'T\Longrightarrow L(C)=L(C')

详细分析

若最后一枚为，则最多只有枚显示，规则永远不会选中第枚。因此前枚恰好按独立的枚配置演化，且。由归纳假设，此分支终止，平均为。 $T$ $n-1$ $n$ $n-1$ $(n-1)$ $C'$ $L(C)=L(C')$ $E_{n-1}$