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第6题

设 是锐角三角形 的内心，且 。三角形 的内切圆 分别在 、、 上与其相切于 、、。过 作 的垂线，再次与 相交于 （异于 ）。直线 再次与 相交于 （异于 ）。三角形 与 的外接圆再次相交于 （异于 ）。证明直线 与 的交点位于过 且垂直于 的直线上。 II ABCABC AB≠ACAB\ne AC ω\omega ABCABC BCBC CACA ABAB DD EE FF DD EFEF ω\omega RR DD ARAR ω\omega PP RR PCEPCE PBFPBF QQ PP DIDI PQPQ AA AIAI
第 2/6 步：关于内切圆反演
上一步下一步
通俗地说

接触三角形使反演后的构形变为线性。

A′=mid⁡(EF),B′=mid⁡(FD),C′=mid⁡(DE)A'=\operatorname{mid}(EF),\quad B'=\operatorname{mid}(FD),\quad C'=\operatorname{mid}(DE)
详细分析

关于以 为中心、内切半径为半径的 作反演。由于 是切线， 的像是 的中点 ；同理 的像分别是 的中点 。位于 上的 等点保持不变。反演的标准化归（或直接追角）表明，原命题等价于在反演后的构形中证明 的像 位于圆 上。 ω\omega II AEAE AFAF AA A′A' EFEF B,CB,C B′B' FDFD C′C' DEDE ω\omega D,E,F,P,RD,E,F,P,R Q′Q' (PIT)(PIT)