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第6题

设 是锐角三角形 的内心，且 。三角形 的内切圆 分别在 、、 上与其相切于 、、。过 作 的垂线，再次与 相交于 （异于 ）。直线 再次与 相交于 （异于 ）。三角形 与 的外接圆再次相交于 （异于 ）。证明直线 与 的交点位于过 且垂直于 的直线上。 II ABCABC AB≠ACAB\ne AC ω\omega ABCABC BCBC CACA ABAB DD EE FF DD EFEF ω\omega RR DD ARAR ω\omega PP RR PCEPCE PBFPBF QQ PP DIDI PQPQ AA AIAI
第 4/6 步：利用对径点和平行四边形
上一步下一步
通俗地说

接触点的对径点揭示经过 的隐藏直线。 PP

P,A,G are collinear,M=center⁡(DCAB)P,A,G\text{ are collinear},\qquad M=\operatorname{center}(DCAB)
详细分析

令 为 在 上的对径点。由 确定的调和四边形从 投影可得 共线。令平行四边形 的中心为 ；则 是 的中点，且 。直径为 的圆经过 ，因为 且 。 GG DD ω\omega E,F,P,RE,F,P,R GG P,A,GP,A,G MM DCABDCAB MM BCBC MIMI AGAG DADA PP TT ∠DPA=90∘\angle DPA=90^\circ DT⊥ATDT\perp AT