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第6题

设 是锐角三角形 的内心，且 。三角形 的内切圆 分别在 、、 上与其相切于 、、。过 作 的垂线，再次与 相交于 （异于 ）。直线 再次与 相交于 （异于 ）。三角形 与 的外接圆再次相交于 （异于 ）。证明直线 与 的交点位于过 且垂直于 的直线上。 II ABCABC AB≠ACAB\ne AC ω\omega ABCABC BCBC CACA ABAB DD EE FF DD EFEF ω\omega RR DD ARAR ω\omega PP RR PCEPCE PBFPBF QQ PP DIDI PQPQ AA AIAI
第 5/6 步：证明两个共圆关系
上一步下一步
通俗地说

相等的有向角使两个目标点位于同一圆上。

∠ITP=∠IMP=∠MIP,∠MQP=∠MIP\angle ITP=\angle IMP=\angle MIP,\qquad \angle MQP=\angle MIP
详细分析

利用平行四边形、平行关系 以及 处的直角，得到 。因此 共圆。又因 共线且四边形 共圆，追角得到 。所以 也共圆。 MI∥AGMI\parallel AG PP ∠ITP=∠IMP=∠MIP\angle ITP=\angle IMP=\angle MIP P,M,I,TP,M,I,T B,Q,CB,Q,C PCEPCE PBFPBF ∠MQP=∠CQP=∠CEP=∠DEP=∠DGP=∠GPI=∠MIP\angle MQP=\angle CQP=\angle CEP=\angle DEP=\angle DGP=\angle GPI=\angle MIP P,M,I,QP,M,I,Q