国际数学奥林匹克 · 2020年

试题

第1题考虑凸四边形 $ABCD$ 。点 $P$ 位于 $ABCD$ 内部。下列比例等式成立： $\angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC$ 。证明下列三条直线共点：角 $\angle ADP$ 与 $\angle PCB$ 的内角平分线，以及线段 $AB$ 的垂直平分线。解法: 1
第2题设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 是满足 $a \ge b \ge c \ge d > 0$ 且 $a+b+c+d=1$ 的实数。证明 $(a+2b+3c+4d)\,a^ab^bc^cd^d < 1$ 。解法: 1
第3题有 $4n$ 颗石子，重量分别为 $1, 2, 3, \ldots, 4n$ 。每颗石子被染成 $n$ 种颜色之一，且每种颜色恰有四颗石子。证明可以把这些石子分成两堆，使得两堆的总重量相等，并且每堆恰好包含每种颜色各两颗石子。解法: 1
第4题设整数 $n > 1$ 。山坡上有 $n^2$ 个站点，它们的海拔高度各不相同。两家缆车公司 $A$ 和 $B$ 各自运营 $k$ 条缆车线路；每条缆车线路把乘客从某个站点直接送到更高的站点，中途不停靠。 $A$ 的 $k$ 条缆车线路有 $k$ 个不同的起点和 $k$ 个不同的终点，并且起点越高的缆车，其终点也越高。同样的条件对 $B$ 也成立。如果可以从较低的站点出发，只使用该公司的一条或多条缆车线路（不允许其他任何站点间的移动）到达较高的站点，就说这两个站点被该公司连接。求最小的正整数 $k$ ，使得无论两家公司如何运营，都能保证存在两个同时被两家公司连接的站点。解法: 1
第5题给定一副 $n>1$ 张的牌。每张牌上写有一个正整数。这副牌具有如下性质：任意两张牌上数字的算术平均值，也等于某个由一张或多张牌组成的集合上数字的几何平均值。对于哪些 $n$ ，能推出牌上的数字全部相等？解法: 1
第6题设整数 $n>1$ ，平面上有一个含 $n$ 个点的集合 $S$ ，且 $S$ 中任意两个不同点之间的距离至少为 $1$ 。证明存在一条分离 $S$ 的直线 $\ell$ ，使得对某个绝对常数 $c>0$ ， $S$ 中每个点到 $\ell$ 的距离至少为 $c n^{-1/3}$ 。（若连接 $S$ 中两点的某条线段与 $\ell$ 相交，则称直线 $\ell$ 分离点集 $S$ 。）解法: 1